實(shí)變函數(shù)與泛函課程改革
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摘要：本文探討了《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程內(nèi)容改革，一是采用一維化方法從一維實(shí)數(shù)空間的測(cè)度論開始學(xué)習(xí)，二是采用測(cè)度的可數(shù)可加性圯葉戈洛夫定理圯有界收斂定理的學(xué)習(xí)路徑學(xué)習(xí)測(cè)度論，可測(cè)函數(shù)和積分論的性質(zhì)。此教學(xué)方案突出課程核心內(nèi)容，減輕了課程難度，適合數(shù)學(xué)類和相關(guān)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)。
關(guān)鍵詞：一維化方法；測(cè)度論；學(xué)習(xí)路徑
一、引言
隨著大學(xué)教育跟國(guó)際接軌，在筆者所在首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)，高年級(jí)數(shù)學(xué)課程越來(lái)越受到重視。《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》（簡(jiǎn)稱實(shí)變課程）課程不僅是數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)類學(xué)生的必修課，也在經(jīng)濟(jì)、管理類學(xué)生中受到歡迎。隨著學(xué)生范圍的擴(kuò)大，有必要針對(duì)學(xué)生背景改革實(shí)變課程的教學(xué)內(nèi)容和方法。
二、《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程教學(xué)改革建議
實(shí)變課程的主要內(nèi)容是通過(guò)n維歐式空間（簡(jiǎn)記為n維空間）上Lebesgue意義下測(cè)度、可測(cè)函數(shù)、積分論基本理論的學(xué)習(xí)，理解抽象測(cè)度論和n維空間結(jié)構(gòu)相互結(jié)合。n維空間上測(cè)度論是后繼課程《測(cè)度論》和《隨機(jī)過(guò)程》的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。由于測(cè)度論的抽象性，我們都是通過(guò)學(xué)習(xí)n維空間上測(cè)度論過(guò)渡到抽象測(cè)度論。n維空間上測(cè)度論包括許多抽象測(cè)度論的內(nèi)容，給出了抽象測(cè)度論具體實(shí)現(xiàn)的空間，也是對(duì)實(shí)數(shù)結(jié)構(gòu)更加深入的認(rèn)識(shí)。采用教材[1]得到啟發(fā)，筆者認(rèn)為可以在兩個(gè)大方面改善課程教學(xué)，第一個(gè)方面是在n維空間測(cè)度論學(xué)習(xí)中首先學(xué)習(xí)一維實(shí)數(shù)空間、R的測(cè)度論，從R的測(cè)度論出發(fā)再深入學(xué)習(xí)n維空間的測(cè)度論，第二個(gè)方面是在完成測(cè)度論學(xué)習(xí)后，采用抽象測(cè)度論的方法把測(cè)度、可測(cè)函數(shù)和積分論的性質(zhì)聯(lián)系在一起，具體學(xué)習(xí)路徑是：測(cè)度的可數(shù)可加性圯葉戈洛夫定理圯有界收斂定理圯Fatou引理圯Lebesgue控制收斂定理。我們從實(shí)變課程中測(cè)度、可測(cè)函數(shù)和積分論來(lái)討論以上兩個(gè)方面。（一）學(xué)習(xí)n維空間測(cè)度論的新方法第一步，R實(shí)數(shù)空間。我們知道測(cè)度論的學(xué)習(xí)一般分為兩個(gè)階段，第一階段《實(shí)變》課程學(xué)習(xí)n維空間上Lebesgue測(cè)度論，第二階段《測(cè)度論》課程學(xué)習(xí)抽象測(cè)度論。國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教材比如[2]，是直接學(xué)習(xí)n維歐式空間測(cè)度理論。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)系學(xué)生已經(jīng)對(duì)n維空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有比較深入的了解，此方法不無(wú)不可。而對(duì)財(cái)經(jīng)類院校學(xué)生，對(duì)于n維空間不太熟悉，那么直接學(xué)習(xí)n維歐式空間測(cè)度理論有相當(dāng)難度。筆者翻閱了眾多教材，發(fā)現(xiàn)書[1]從n=1，即實(shí)數(shù)軸R上的測(cè)度論講起，非常方便數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的學(xué)生直接學(xué)習(xí)實(shí)變課程。我們敘述學(xué)習(xí)R上測(cè)度論的優(yōu)點(diǎn)：1.R上容易證明以下命題。命題1（[1]Propostion1P31）：R上區(qū)間的外測(cè)度是其長(zhǎng)度。我們對(duì)R上開區(qū)間I=（a，b）定義長(zhǎng)度為l（I）=b-a。任何集合A定義外測(cè)度，找可數(shù)個(gè)開區(qū)間覆蓋A，求出開區(qū)間的長(zhǎng)度和，最后對(duì)有所有長(zhǎng)度和取下確界，即m*（A）=inf∞k=1Σl（Ik）|A哿∞k=1胰Ik胰胰。此定義是從長(zhǎng)度到測(cè)度的重要步驟，保證了數(shù)學(xué)理論邏輯的完整性。R上區(qū)間的外測(cè)度是其長(zhǎng)度的結(jié)論雖然非常直觀，但是證明需要一定的技巧，用到了閉區(qū)間的緊致性（證明參見[1]Propostion1P31）。另一方面，在敘述完外測(cè)度的定義后，外測(cè)度的單調(diào)性、次可數(shù)可加性屬于抽象測(cè)度論內(nèi)容。2.R上容易證明以下命題。命題2（[1]Propostion8P38）：R上每個(gè)區(qū)間是可測(cè)的。在抽象測(cè)度論方面，我們引入Caratheodory條件定義可測(cè)集。測(cè)度就是外測(cè)度在可測(cè)集上的限制。可測(cè)集滿足σ-代數(shù)性質(zhì)，且測(cè)度具有可數(shù)可加性，上、下連續(xù)性。關(guān)鍵在R上我們可以比較容易地證明每個(gè)區(qū)間都是可測(cè)的，避免n維空間上結(jié)果的技術(shù)細(xì)節(jié)，從而通過(guò)區(qū)間生成Borel可測(cè)集和Lebesgue可測(cè)集。3.R的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，我們有如下命題。命題3（[1]Propostion9P17）：R的非空開集是可數(shù)個(gè)開區(qū)間的并集，非空閉集是可數(shù)個(gè)閉區(qū)間的并集。R上拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是開、閉區(qū)間概念的直接推廣，直接引入了拓?fù)涓拍睢Ｎ覀兛梢杂瞄_集、閉集逼近可測(cè)集，便于理解拓?fù)渑c測(cè)度的關(guān)系（[1]P40）。學(xué)習(xí)n維空間測(cè)度論的新方法第二步，n維空間。在具體學(xué)完R上測(cè)度后，我們對(duì)抽象測(cè)度論有一定理解，只需拓展以上三個(gè)命題就可以理解n維空間上Lebesgue測(cè)度論，大大減輕了學(xué)習(xí)難度。命題1’（[1]例P62）：n維空間上矩體的外測(cè)度是其體積。命題2’（[1]定理2.9P74）：n維空間上每個(gè)開矩體是可測(cè)的。命題3’n維空間上每個(gè)開集是可數(shù)個(gè)開矩體的并集。命題1’在書[2]中并沒有給出詳細(xì)證明，其具體證明細(xì)節(jié)把命題1的證明推廣到多維。命題2’比命題2的證明復(fù)雜。（二）對(duì)于R上的可測(cè)函數(shù)類，我們可以比較簡(jiǎn)單地證明Littlewood三原則（[1]P64）。①每個(gè)可測(cè)集幾乎是有限個(gè)區(qū)間的并集（[1]Theorem12P41）。②每個(gè)可測(cè)函數(shù)幾乎是連續(xù)的，即魯津定理（[1]P66）。③函數(shù)列點(diǎn)態(tài)收斂幾乎是一致收斂，即葉戈洛夫定理（[1]P64）。其中葉戈洛夫定理的證明用到了Lebesgue測(cè)度的連續(xù)性，即測(cè)度可數(shù)可加性的一個(gè)推論，聯(lián)系了測(cè)度和可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)（[1]RemarkP78）。（三）對(duì)于R上的可測(cè)函數(shù)的Lebesgue積分。我們利用葉戈洛夫定理證明有界收斂定理，聯(lián)系了可測(cè)函數(shù)和積分的性質(zhì)（[1]RemarkP78），進(jìn)而證明Fatou引理，單調(diào)收斂定理，Lebesgue控制收斂定理。以上（二），（三）部分參考學(xué)習(xí)路徑，屬于抽象測(cè)度論的內(nèi)容，其結(jié)果可以平行地推廣到Rn空間中。
三、結(jié)束語(yǔ)
綜上所述，以上《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程關(guān)于一維化方法和測(cè)度、可測(cè)函數(shù)、積分論學(xué)習(xí)路徑的建議是適應(yīng)課程面向大眾化的改革方案，突出核心內(nèi)容，極大減輕了教學(xué)內(nèi)容的難度，便于學(xué)生學(xué)習(xí)。根據(jù)學(xué)生情況，課程還可以增加弱收斂、度量空間、拓?fù)淇臻g、Banach空間、Hilbert空間等內(nèi)容。
參考文獻(xiàn)：
[1]H.Royden,P.Fitzpatrick.RealAnalysi,FourthEdition[M].機(jī)械工業(yè)出版社,2010.
[2]周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].第2版.北京大學(xué)出版社,2008.
作者:簡(jiǎn)思綦 單位:首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)